측정과 오차, 그리고 최소제곱법

측정 

 어떤 양이나 변수의 크기를 그것과 같은 종류의 기준량과 비교하여서, 그 크기를 수량적으로 나타내는 것을 말합니다. 측정에 사용되는 장치를 측정기, 계측기 또는 계기라고 하며, 자, 저울이나 전압계, 전류계 등도 포함합니다. 측정에는 직접측정과 간접측정, 절대 측정과 상대 측정, 편위법과 영위법으로 구분할 수 있습니다. 직접 측정은 측정하고자 하는 양을 같은 종류의 기준량과 직접 비교하여 그 양의 크기를 결정하는 것으로 자로 길이를 재고, 전압계로 전압을 측정하는 등이 이에 해당합니다. 반대로 간접측정은 측정되는 양과 일정한 관계를 맺고 있는 양에 대해서 직접 측정하여 계산에 의해 값을 구하는 방법을 말합니다. 속도를 측정할 때 소요된 시간과 거리를 직접 측정하고, 계산식을 통해서 속도를 구하게 됩니다. 

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 절대 측정은 물리량을 절대적으로 측정하는 경우로 극히 특수한 경우에만 해당합니다. 상대 측정은 같은 종류의 물리량을 알고 있는 값과 비교하여 크기의 비율만을 구하는 것을 말합니다. 어떠한 회로에 있는 저항값을 측정할 때, 절대 측정은 그 회로의 전류와 전압을 측정하여 저항값을 구하는 것이고 상대 측정은 그 회로와 같은 전류를 다른 저항에 걸어서, 전류의 비를 측정하여서 저항값을 구하는 과정입니다. 편위법은 측정량의 크기에 따라서 지침 등을 편 위 시켜서 측정량을 구하는 방법입니다. 감도는 떨어지지만 쉬우며 신속하게 측정할 수 있기 때문에 공업용으로 많이 사용합니다. 영위법은 어느 측정량을 그것과 같은 종류의 기준량과 비교하여 측정량과 똑같이 되도록 기준량을 조정한 뒤에 기준량의 크기로부터 측정량을 구하는 방법으로, 비교적 감도가 높고 정밀한 측정에 적합합니다. 

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오차

 측정자의 눈금 오독 또는 기록 등의 부주의로 발생하는데 일반적으로는 근삿값에서 참값을 뺀 차를 말합니다. 이 중에는 이론의 잘못, 측정 기계의 부정확 또는 측정자의 버릇 등에서 오는 오차를 계통오차라고 합니다. 이들은 어떤 정해진 규칙에 얽매어서 한쪽으로 치우치는 오차로 그 원인을 제거하거나 수정하여 보정이 가능합니다. 즉, 이론 오차는 이론적으로, 기계오차는 기계를 교정하여서, 개인오차는 두 사람 이상 관측자의 측정을 비교하여서 어느 정도 그 오차를 제거할 수 있습니다. 또한 우연오차라는 개념도 있습니다. 우연오차는 과실에 의해 발생하거나 원인불명의 확률 오차로 나누어집니다. 이를 줄이기 위해 측정값을 평균을 취하거나 최소제곱법 등의 수단을 씁니다. 우연오차는 아무리 주의하여도 제거할 수 없습니다. 하지만 오차와 오차를 포함한 근삿값에 의한 계산식을 확률적으로 연구하여 참값을 측정할 수 있습니다. 이를 다룬 이론이 오차론입니다.

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통계적 불확성

 어떤 것을 측정할 때 반복해서 측정하면 더욱 정확한 값을 구할 수 있습니다. 하지만 반복측정값들이 우연오차로 불규칙한 값을 가질 때 측정값은 참값과 우연오차의 합으로 가정합니다. 평균은 참값과 반복 횟수를 곱하고 우연 오차들의 합을 합한 값에 반복 횟수로 나눈 것과 같습니다. 이는 우연 오차들의 합을 반복 횟수로 나누고 여기에 참값을 더한 값이 됩니다. 우연오차가 발생하면 측정값은 평균값이 됩니다. 충분히 많은 실험으로 많은 평균값을 구하면 평균값의 분포는 정규분포를 따르게 되고 이들의 표준편차를 구합니다. 이를 표준오차라고 합니다. 표준오차는 변수 XF에서 평균값을 뺀 값을 제곱합니다. 반복되는 실험마다 이를 구하고 전부 합합니다. 이를 반복 횟수 x(반복 횟수-1)로 나누고 루트를 씌우면 표준오차가 구해집니다.

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최소제곱법

 최소제곱법은 기본적인 오차를 수정하는 방법이며, 범용적으로 많이 쓰입니다. 어떠한 측정이나 실험에서 독립변수 X와 그에 따른 결괏값, 종속변수 Y가 있습니다. 1번 실험하면, 독립변수 X와 그 종속변수 Y의 한 쌍, (X, Y)가 만들어집니다. 실험을 여러 번 반복하면 쌍이 여러 개 생기며, 이 데이터들의 연관성을 찾아서 데이터의 유용성을 판단합니다. 이 상관관계를 찾는 도구 중의 하나가 바로 최소제곱법입니다. 데이터들을 그래프에 그리고 여기에 상관관계에 있는 직선을 그립니다. 데이터들의 점과 이 직선까지의 Y축 거리만 따져서 이 거리 제곱의 합이 최솟값이 되게 합니다.

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[그림 1] - 최소제곱법에서의 임의의 직선과 데이터 간의 거리를 나타내고 있습니다.

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 X에 대한 Y의 상관관계를 찾기 위해 임의의 식을 정의합니다. 그 함수를 ‘y=a+bx’라고 정의합니다. 여기서 x와 y는 독립변수 X와 종속변수 Y의 값들이고 b는 직선의 기울기, a는 y 절편을 의미합니다. 의미 있는 식을 구하기 위해 a와 b의 값을 구하여, 식을 완성하게 됩니다. 즉 Σ(y-a-bx)^2가 최소가 되게 하는 a, b를 찾습니다. a는 (x 제곱의 합)(y의 합) + (x의 합)(XY의 합)을 (반복 횟수)(x 제곱의 합)-(x의 합)^2로 나눕니다. b는 (반복 횟수) XY의 합)-(x의 합)(y의 합)을 역시 (반복 횟수)(x 제곱의 합)-(x의 합)^2로 나눕니다.